1. Pokazać że spójna grupa Liego jest nilpotentna wtedy i tylko wtedy gdy jej algebra Liego jest nilpotentana.

2. Pokazać że jeśli algebra Liego G jest nilpotentna i G/[G, G] jest generowane przez x_{1}, …, x_{n} to x_{1}, …, x_{n} także generują G.

3. Pokazać że nilpotentna algebra Liego ze skończonym zbiorem generatorów jest skończenie wymiarowa.

Definicja: Formę dwuliniową B na algebrze Liego A nazywamy niezmienniczą jeśli dla każdych x, y, z ∈ A zachodzi D([x, y], z) + B(y, [x, z]) = 0.

4. Pokazać że jeśli A jest algebrą Liego spójnej grupy Liego G to forma dwuliniowa B na A jest niezmiennicza na A wtedy i tylko wtedy gdy jest niezmniennicza na działanie Ad. Wywnioskować stąd że jeśli G jest zwarta to na A istnieje dodatnio określony niezmienniczy iloczyn skalarny.

5. Pokazać że jeśli B jest dwuliniową formą niezmienniczą na A, zaś I jest ideałem w A, to zbiór I^{⊥} = {x ∈ A : ∀_{y∈I}B(x, y) = 0} jest ideałem. Wywnioskować stąd i z poprzedniego zadania że jeśli podalgebra S algebry Liego zwartej grupy Liego jest rozwiązalna, to S jest przemienna.

6. Pokazać że algebra Liego A skończonej długości zawiera maksymalny ideał nilpotentny, tzn. taki ideał nilpotentny N że dowoly ideał nilpotentny A jest zawarty w N.

Przypominam że uniwersalna algebra obwiednia algebry Liego A jest zdefiniowana jako taka algebra łączna E(A) z odwzorowaniem ι : A ↦ E(A) które jest homomorfizmen z A w E(A) traktowane jako algebra Liego (z komutatorem jako nawiasem Liego), że każdy homomorfizm h z A w algebrę łączną B traktowaną jako algebrę Liego jest postaci h = g ∘ι gdzie g jest homomorfizmem E(A) w B (homomorfizm algber łacznych).

7. Niech A będzie algebrą Liego która jest modułem wolnym z bazą {e_{i}}_{i∈I} nad pierścieniem podstawowym R. Zakładamy że na I zadany jest porządek liniowy. Pokazać że elementy postaci

ι(e_{i_{1}})ι(e_{i_{2}}) … ι(e_{i_{n}})

gdzie i_{1} ≤ i_{2} ≤ ⋯ ≤ i_{n} stanowią generują E(A) (ciąg pusty daje jedynkę).

8. Niech G będzie grupą Liego z algebrą Liego L, i niech D będzie algebrą operatorów różniczkowych na G niezmienniczych na przesunięcia z prawej strony (mnożenie to składanie operatorów). Pokazać że algebra obwiednia E(L) jest izomorficzna z D.

Wskazówka: Rozpatrzyć działanie elementów D na jednomiach w układzie wpółrzędnych.

Przypominam definicję:

Definicja: Algebra Liego g jest prosta jeśli jedyne podprzestrzenie g niezmiennicze na działanie wszystkich operatorów ad_{x}, x ∈ g to g i {0}.

9. Pokazać że jeśli G jest grupą Liego z prostą algebrą Liego, to istnieje k takie że dla każdego x ∈ G który nie należy do centrum G dla F zadanego równością F = A_{G}x = {gxg^{−1} : g ∈ G} zbiór (F F^{−1})^{k} zawiera otoczenie e w G.

Wskazówka: F zawiera krzywą gładką.

10. Pokazać że jeśli G jest spójną grupą Liego z prostą algebrą Liego, to każdy właściwy dzielnik normalny G jest zawarty w centrum G.

11. Pokazać że jeśli G jest grupą zwartą, U jest otoczeniem e w G, k jest liczbą naturalną, to istnieje otoczenie e V takie że ((A_{G}V)(A_{G}V)^{−1})^{k} ⊂ U.

12. Pokazać że jeśli G_{1} jest grupą Liego z prostą algebrą Liego zaś G_{2} jest jest grupą zwartą to każdy (algebraiczny) homomorfizm z G_{1} do G_{2} jest ciągły.