1. Pokazać że dla danego n i k istnieje wolna algebra nilpotentna N_{n,k} długości co najwyżej k generowana przez n elementów. Dokładniej, N_{n,k} jest taką algebrą Liego że dla dowolnej nilpotentnej algebry Liego B długości co najwyżej k i odwzorowania h ze zbioru generatorów {x_{1}, …, x_{n}} w B istnieje dokładnie jedno odwzorowanie h̃ : N_{n,k} ↦ B takie że h(x_{i}) = h̃(x_{i}). Dla skończonego n algebra N_{n,k} jest skończenie wymiarowa.

Uwaga: Nilpotentność jest kluczowa żeby dostać skończony wymiar. Mianowicie, algebra A z zadania 5 z listy 2 jest nieskończnie wymiarową rozwiązalną algebra Liego o dwu generatorach. Przy tyme [A, A] jest algebrą przemienną (takie algebry nazywamy metaabelowymi).

2. Pokazać że jeśli algebra Liego A jest sumą prostą algebr A_{1} i A_{2}, to algebra obwiednia E(A) jest izomorficzna z iloczynem tensorowym E(A_{1}) i E(A_{2}) z działaniem zadanym wzorem (x_{1} ⊗ x_{2})(y_{1} ⊗ y_{2}) = (x_{1}x_{2}) ⊗ (y_{1}y_{2}).

3. Pokazać że jeśli L jest skończenie wymiarową algebrą rozwiązalną nad ciałem charakterystyki 0 to [L, L] jest algebrą nilpotentą.

Wskazówka: Użyć twierdzenie (Liego) podane na wykładzie.

4. Pokazać że jeśli D jest różniczkowaniem skończenie wymiarowej rozwiązalnej algebry Liego L nad ciałem charakterystyki 0 to dla dowolnego x ∈ L operator ad_{Dx} jest nilpotentny.

Wskazówka: Algebra różniczkowań generowana przez D i L jest rozwiązalna. Przypominam że jeśli pierścień przemienny z jedynką S jest algebrą nad R,

zaś G jest R-algebrą Liego to S ⊗_{R} G posiada naturalną strukturę S-algebry Liego (mówimy że S ⊗_{R} G jest otrzymane z G przez rozszerzenie skalarów). Jeśli S jest modułem wolnym nad R to G można naturalnie utożsamić z podzbiorem S ⊗_{R} G (w ogólym przypadku dostaniemy naturalne ”włożenie” które nie musi być różnowartościowe).

5. Opisać strukturę S ⊗_{R} G jeśli R to liczby rzeczywiste zaś S to liczby zespolone. W szczególności, co wyjdzie jeśli G to:

• algebra rzeczywistych macierzy 2 × 2 o śladzie 0

• algebra zespolonych macierzy 2 × 2 o śladzie 0

• algebra zespolonych macierzy antyhermitowskich 2 × 2 o śladzie 0

6. Niech R̃ = R[X]/(X^{2}) (tzn. R̃ jest rozszerzeniem R o elemet x taki że x^{2} = 0), L jest R-algebrą Liego i niech L̃ = R̃ ⊗_{R} L. Pokazać że jeśli D jest różniczkowaniem L, to wzór A(s + xt) = s + x(t + D(s)) gdzie s, t ∈ L (zaś L utożsamiamy z podzbiorem L̃), zadaje automorfizm L̃. Ponadto, każdy automorfizm L̃ który jest tożsamością na L̃/xL jest takiej postaci.

Algebrę Liego nazywamy półprostą jeśli nie zawiera nietrywialnych ideałów rozwiązalnych.

7. Pokazać że suma prosta algebr półprostych jest półprosta.

8. Niech ciało F będzie rozszerzeniem algebraicznym ciała K. Pokazać że algebra Liego A nad ciałem K jest półprosta wtedy i tylko wtedy gdy algebra A_{F} = F ⊗_{K} A jest półprosta jako algebra Liego nad F.

Wskazówka: Aby pokazać że A_{F} jest półprosta wystarczy to zrobić w przypadku gdy rozszerzenie F/K jest skończone. Użyć wtedy poprzedniego zadania.