1. Algebra Liego sl(2, ℝ) jest generowana przez elementy H, X, Y takie że H = [X, Y], [H, X] = 2X, [H, Y] = −2Y. Niech v_{k}, k = 0, …, m będzie bazą przestrzeni m + 1 wymiarowej przestrzeni V_{m} (m ≥ 1). Sprawdzić że wzory Hv_{k} = (2k − m)v_{k}, Xv_{k} = (m − k)v_{k+1}, Y v_{k} = kv_{k−1} zadają na V_{m} strukturę modułu Liego nad sl(2, ℝ). Moduł ten jest izomorficzny z naturalnym działaniem sl(2, ℝ) na wielomianach jednorodnych stopnia m. Ponadto moduł ten jest prosty.

2. Produkt wolny R-algebr Liego A_{1} i A_{2} definujemy jako taką R-algebrę Liego B z włożeniami ι_{i} : A_{i} ↦ B, i = 1, 2 że dla dowolnej R-algebry Liego C i dowolnych homomorfizmów R-algebr Liego h_{i} : A_{i} ↦ C, i = 1, 2 istnieje dokładnie jeden homomorfizm R-algebr Liego h : B ↦ C, taki że h_{i} = h ∘ ι_{i}. Uogólnić defincję na dowolną, niekoniecznie skończoną rodzinę algebr. Pokazać że produkt wolny istnieje. Ponadto pokazać że produkt wolny odpowiedniej liczby kopii pierścienia R traktowanego jako R-algebra Liego z zerowym komutatorem spełnia naturalną definicję wolnej algebry Liego (sformułować tą definicję).

Nilradykałem s algebry Liego L nazywamy podzbiór L taki że każdy element s ∈ s działa jak zero w każdym L-module prostym tzn.

s = {s ∈ L : ∀_{V} ∀_{v∈V} V jest prosty ⟹ sv = 0}

3. Dla skończenie wymiarowej algebry L pokazać że:

• jeśli algebra L jest półprosta to s = {0}

• s jest ideałem rozwiązalnym

• jeśli algebra L jest abelowa to s = {0}

• s ⊂ [L, L]

• jeśli L jest rozwiązalan nad ciałem charakterystyki 0 to s = [L, L]

4. Niech G będzie zwartą grupą Liego zaś A algebrą Liego G. Pokazać że

• A jest sumą prostą swoich ideałów

• A jest sumą prostą algebry półprostej i abelowej

• jeśli G jest jednospójna to A jest półprosta i każdy skończenie wymiarowy A-moduł Liego jest sumą prostą modułów prostych