1. Niech H_{n} będzie algebrą Heisenberga nad ciałem K charakterystyki 0, tzn. bazą H_{n} są elementy X_{k}, Y_{k}, k = 1, …, n i Z zaś [X_{k}, Y_{k}] = Z. Niech 0 ≠ α ∈ K. Definiujemy działanie H_{n} na wielomianach od x_{1}, …, x_{n} wzorami: X_{k}f = ∂_{k}f, Y_{k} = αx_{k}f, Zf = αf. Sprawdzić że jest to dobrze zdefiniowane działanie. Pokazać że przy tym działaniu nie ma nietrywialnych podprzestrzeni niezmienniczych, tzn. K[x_{1}, …, x_{n}] z tym działaniem jest H_{n}-modułem prostym. Ponadto, dla różnych α odpowiednie moduły są nieizomorficzne (innymi słowy, te działania nie są równoważne).

Komentarz: Wiemy że skończenie wymiarowe moduły proste nad algebrą rozwiązalną nad ciałem algebraicznie domkniętym charakterystyki 0 są jednowymiarowe. To zadanie ilustruje że dostaniemy nietrywialne nieskończenie wymiarowe moduły proste.

2. Pokazać że jeśli N ⊂ A ⊂ L, N jest podalgebrą Cartana w L, A jest podalgebrą L, to N jest podalgebrą Cartana w A.

3. Algebra Liego L (nad ciałem liczb rzeczywistych) ma bazę X, Y, Z, T, S z relacjami [X, Y] = Z, [X, T] = T, [Y, S] = S (pozostałe komutatory elementów bazy to 0). Pokazać jeśli a, b są dowolnymi ustalonymi liczbami to podalgebra generowana przez elementy postaci X + aT, Y + bS, Z jest podalgebrą Cartana w L. Ponadto każda podalgebra Cartana L jest takiej postaci.

4. Niech L będzie skończenie wymiarową algebrą Liego nad ciałem nieskończonym i C będzie algebrą Cartana w L. Pokazać że L = C + [L, L].

5. Niech L będzie rozwiązalną algebrą Liego nad ciałem algebraicznie domkniętym charakterystyki 0 i niech N będzie podalgebrą Cartana w L. Wiemy że

L = N ⊕ ⨁_{f} L_{f} = N ⊕ W

gdzie f są funkcjonałami pierwiastkowymi zaś L_{f} odpowiednimi podprzestrzeniami pierwiastkowymi. Każde f rozszerzamy z N na L kładąc f(x) = 0 dla x ∈ W. Pokazać że tak rozszerzone f nie zależą od wyboru N.