[Poprawiaj. Uzupełniaj miejsca wykropkowane lub '???']
PRZYKŁADY $$ \tag{1} \frac{5}{x^2-4} = \frac{???}{???} + \frac{???}{???}$$ \begin{equation} \tag{2} \frac{5x^3-20x+1}{x^2-4} = ... \end{equation} $$\tag{3} \frac{5}{x^2-3} = ...$$ $$\tag{???} \frac{5x^2+16}{x^2+3} = \frac{5x^2+15+1}{x^2+3} = ...$$ $$\tag{5} {x^5-32 \over x^4-1} =...$$ [ W razie kłopotów może Ci pomóc np. wujek Wolfram >>> ]
Aby sformułować twierdzenie o rozkładzie na ułamki proste, warto NAJPIERW przypomnieć tw. rozkładzie wielomianu (nad - za przeproszeniem - ciałem liczb rzeczywistych):
TWIERDZENIE (zasadnicze twierdzenie algebry, tw. Gaussa)
Każdy wielomian $w(x)$ da się przedstawić w postaci:
$$w(x)= ??? $$
UWAGA. Twierdzenie to jest 'egzystencjalne', tzn. MÓWI, ŻE ISTNIEJĄ pewne liczby $???$, ALE NIE MÓWI JAK JE ZNALEŹĆ.
UWAGA do Uwagi. Od 200 lat wiadomo, że dla wielomianów stopnia $ \geq ???$ NIE ISTNIEJĄ (i nie będą istnieć!) wzory na ich znalezienie.
UWAGA do Uwagi, do uwagi. Poprzednia uwaga MA DOWÓD! Trudno wysłowić, co to znaczy 'wzór'.
TWIERDZENIE (o rozkładzie na ułamki proste)
Każda funkcja wymierna postaci $$f(x)=???$$ da się przedstawić w postaci:
$$f(x)= ??? $$
Najbardzie znane zastosowanie: obliczanie (niektórych) całek: $$ \tag{C1} \;dx= ...$$ \begin{equation} \tag{C2} \int \frac{5x^3-20x+1}{x^2-4} \;dx = ... \end{equation} $$\tag{ $C_3$ } \int \frac{5}{x^2-3} ??? = ???$$ $$\tag{C4} \int \frac{5x^2+16}{x^2+3} ??? = ??? $$ $$\tag{C5} \int_5^8 {x^5-32 \over x^4-1} ???=???$$ [ W razie kłopotów może Ci pomóc np. wujek Wolfram >>> ]
Warto porównać poniższe DWIE odpowiedzi wujka Wolftama na bardzo podobne zadania: $\int_5^8 {5 \over x^2-4} \;dx\ $ >>> oraz $\int_5^8 {5 \over x^2-3} \;dx\ $ >>>