[Dziś przede wszystkim poszperaj w www.świecie, znajdź potrzebne TU wzory w TeXowej postaci i SKOPIUJ do tego pliku]
Tytułowy ciąg fibonacciego zdefiniowany jest rekurencyjnie $$ ??? $$
Oczywiście jest rosnący.
Z oczywistego oszacowania od góry:
$ f_n =???+??? \leq 2\cdot ???$
wynika, że
ma wyrazy nie większe od ciągu geometrycznego o ilorazie 2,
czyli
$$f_n \leq ??? $$
W XIX? wieku (a może wcześniej?) Binet odkrył wzór N I E R E K U R E N C Y J N Y, mianowicie $$f_n= ???$$ (zwany wzorem Bineta lub Eulera-Bineta).
Trudno uwierzyć w jego poprawność, bo razi w oczy ów pierwiastek, który nie jest liczbą wymierną.
Przekonaj maturzystę, że dla $n=3$ otrzymujemy liczbę naturalną:
$$ ??? TU trochę przekształceń jest potrzebne
$$
Przekonaj maturzystę, że dla $n=4$ otrzymujemy liczbę naturalną: $$ ??? TU trochę przekształceń jest potrzebne $$
Gdy maturzysta zna wzór $a^n-b^n=(a-b)\cdot( ??? )$,
to przekonaj go, że dla $n=n$ otrzymujemy liczbę naturalną:
$$ ??? TU trochę przekształceń jest potrzebne
$$