Wyprawa na MUMISKAM  

Grupa szturmowa nawiązuje łączność radiową z bazą. Oto przebieg rozmowy:

-- Halo, baza? Tu straszna mgła, nic nie widać. Chyba jesteśmy na szczycie, bo w którąkolwiek stronę się nie ruszymy, to schodzimy.
-- Tu baza. Niestety nie jesteście jeszcze na najwyższym wierzchołku, bo on nie ma tej własności!
-- Jak to? Czy to możliwe?
-- Pierwsi zdobywcy opisali sąsiedztwo najwyższego wierzchołka (x=0):

y = 8125 - | x | + 3x2 sin 1/| x | .
-- Nie rozumiem!
-- Pomyśl najpierw o y1 = sin 1/| x | .
-- No -- już widzę:

-- Teraz pomyśl o y2 = 3x2 i y3 = -3x2 .
-- No -- już widzę:

-- A teraz pomyśl o iloczynie y2 . y1 = 3x2 sin 1/| x | .
-- Poczekaj, zaraz, ... . O już widzę!

-- Teraz skup się, będzie trudno -- dodaj do poprzedniej funkcji y = - | x | .
-- Chwila. Mam! To wszystko chowa się pod osią OX

-- No może nie wszystko, ale koło x=0 -- tak. Na koniec dodaj 8125.
-- Tak to proste.

Ale skąd wiesz, że te 'ząbki' nie 'wygładzają' się koło x=0 ?
-- Jak obliczysz pochodną, choćby tylko dla x > 0 , to zobaczysz:
y ' = -1 + 6x sin 1/x - 3 cos 1/x dla x > 0
i zobacz wykres pochodnej:

Jeśli cię to nie przekonuje, to wstawiaj za x wartości: 1/(n.2), dla n=1,2,3,... . Wtedy pochodna ma wartość -4. Potem wstawiaj za x wartości: 1/((2n+1).), dla n=1,2,3,... . Wtedy pochodna ma wartość 2. Zatem wielokrotnie (nieskończenie wiele razy) zmienia znak w pobliżu x=0. Rozumiesz?
-- Tak. No to ruszamy dalej, na ten właściwy MUMISKAM.
-- Tylko nie pomylcie drogi. Główny wierzchołek jest bardzo podobny do wschodniego (niższego):
y = 8011 - | x | + x2 sin 1/| x | .
Jak obliczysz pochodną, to zgadniesz (niektóre) jej miejsca zerowe w (0,1):
1/( (2n+1).),   n=1,2,3,...
ale mimo tego wchodząc na ten wierzchołek prawdopodobnie będziesz stale podchodził, bo pochodna zapewne nie zmienia znaku (na (0,1) ) popatrz:


-- Tym razem nie masz racji -- już tam byliśmy i widzieliśmy: do samego szczytu idzie się jak po 'pralce': na przemian w górę i w dół. Fakt, że zejścia są bardzo malutkie, ale są. Jak nie wierzysz, to oblicz drugą pochodną w punktach, które podałeś. Wartości są równe (4n+2)., więc są DODATNIE, co oznacza, że w tych miejscach są wgłębienia. Twój wykres pochodnej jest zatem albo błędny, albo nie dostrzegasz, że pochodna w tych miejscach zmienia znak.
-- No dobra, dobra, ... idźcie już. Może się przejaśni i wszystko się wyjaśni.