\( \def\NN{\text{I$\!$N}} \def\RR{\text{I$\!$R}} \) \( \def\RR{\mathbb{R}} \def\mforall{\mathop{\forall}\limits} \def\mexists{\mathop{\exists}\limits} \def\bd{\mbox{bd }} \def\bd{\mbox{bd }} \def\cl{\mbox{cl }} \newcommand{\Cl}[1]{\overline{#1}} \def\ll{\langle} \def\rl{\rangle} \def\wne{\mbox{Int }} \def\Int{\mbox{Int }} \newcommand{\xlim}[1]{\lim\limits_{x\to#1}} \newcommand{\hlim}[1]{\lim\limits_{h\to#1}} \newcommand{\xtend}[1]{\ \mathop{\longrightarrow}\limits_{x\to#1}\ } \)

Grafomania, a grupa podstawowa

Jedna z najprostszych definicji grafu:

Definicja 1.  Parę \((V,E)\) nazywamy grafem o zbiorze wierzchołków \(V\), gdy zbiór jego krawędzi \(E\) jest (pewnym) zbiorem dwuelementowych podzbiorów \(V\).

Definicja 2.  Trasą w grafie \(G=(V,E)\) nazywamy skończony ciąg wierzchołków \(\ll v_0\;v_1\;\ldots\; v_n\rl\) o własności \(\{v_k,v_{k+1}\}\in E\), dla \(k<n\).

 
Uwaga.  W oznaczeniu ciągu (w trasie) opuściliśmy przecinki z premedytacją - dalej okaże się to wygodne. Ciąg, w którym jakieś sąsiednie elementy są równe nie jest trasą (dlaczego?).
Tu używana terminologia odbiega nieco od podręcznikowych.

Przykład 3.  W grafie \(G_1\) z rysunku 1.
trasami są np.: \(\ll a\; c\; b\rl\), \(\ll c\; a\; c\; b \rl\), \(\ll a \;c\; d\; e\; f\; e\; d\rl\), \(\ll c \rl\).
Nie są trasami np.: \(\ll a\; b\; c\rl\), \(\ll a\; d\; e \rl\), \(\ll a\; c\; d\; f\; \rl\), \(\ll c\; c \rl\).

 
Definicja 4.  S-skrócenie trasy, to efekt wielokrotnie stosowanej poniższej operacji:
Gdy w trasie \(\ll v_0\;v_1\;\ldots\;v_{k-1}\;v_k\;v_{k+1}\;\ldots\; v_n\rl\) jest \(v_{k-1}=v_{k+1}\) dla pewnego \(k\), to opuszczając dwa wyrazy: \(v_k\;v_{k+1}\), otrzymamy S-skrócenie, czyli nową (krótszą) trasę.
Powiemy, że dwie trasy \(\alpha\), \(\beta\) są S-homotopijne (notacja: \(\alpha\sim\beta\)) , gdy istnieje trasa \(\gamma\) będąca ich wspólnym S-skróceniem.

Wy(ob)rażenie. Można sobie wyobrażać: graf \(G\) jest siecią głębokich rowów, wzdłuż trasy układamy sznurek; ciągnąc za końce można spróbować go skrócić ciągle w obrębie grafu (= nie wyciągając z rowów) tak, by otrzymać krótszą trasę (o tym samym początku i końcu) czyli jej S-skrócenie.

Przykład 5.  W grafie \(G_1\) z rysunku 1.:
   \(\ll a\; c\; b\;c \rl\sim\ll a\; c\; \rl\),           \(\ll a\; c\; d\;c\;a \rl\sim \ll a\; c\; a \rl\sim\ll a \rl\),
   \(\ll a \;c\; d\; e\; f\; g\;d\;g\;f\;e\;d\;c\rl \sim \ll a \;c\; d\; e\; f\; g\;f\;e\;d\;c\rl \sim \ll a \;c\; d\; e\; f\;e\;d\;c\rl \sim \ll a \;c\; d\;c\rl\sim\ll a\;c\rl\),
   \(\ll a\; (c\; d)^{2}\;(e\;f)^3\;g\rl=\ll a\; (c\; d)\;(c\; d)\;(e\;f)\;(e\;f)\;(e\;f)\;g\rl\sim \ll a\;c\;d\;e\;f\;g\rl\),
   \(\ll a\; (c\; b)^{3}\;c\;d \rl=\ll a\; (c\; b)\;(c\; b)\;(c\; b)\;c\;d \rl\sim \ll a\;c\;d\rl\),
   \(\ll a\; (c\; d)^{8}\;(e\;f\;g\;d)^{2}\;c \rl\sim\ll a\; c\;d\; (e\;f\;g\;d)^2\;c) \rl= \ll a\; c\;(d\;e\;f\;g)^2\;d\;c \rl \).

Definicja 6.  Dla grafu \(G=(V,E)\), wierzchołka \(v\in V\) symbol \(\Omega(G,v)\) oznacza zbiór wszystkich tras o początku i końcu w wierzchołku \(v\).

Stwierdzenie \(\bf 7^c\).  Dla grafu \(G_1=(V,E)\) z rysunku 1., dla \(k,n\in\mathbb{N}^{+}\) przyjmijmy oznaczenia:
                     \(\alpha^c=\ll c\rl,\ \ \ \beta^c_k=\ll c\;(d\;e\;f\;g)^k\;d\;c \rl, \ \ \ \gamma_n^c=\ll c\;(d\;g\;f\;e)^n\;d\;c \rl.\)
Mamy:
 \((i)\)    \(\alpha^c, \beta_k^c, \gamma_n^c\) są S-nieskracalne,
 \((ii)\)   każde dwie różne spośród tras \(\alpha^c, \beta_k^c, \gamma_n^c\) nie są S-homotopijne,
 \((iii)\)  każda trasa \(\omega\in \Omega(G_1,c)\) jest S-homotopijna z którąś z tras: \(\alpha^c, \beta_k^c, \gamma_n^c\) .

Zadanie \(\bf 7^b\).  Dla grafu \(G_1=(V,E)\) z rysunku 1, wskaż analogiczne trasy jak w Stwierdzeniu \(7^c\), gdzie rolę wierzchołka \(c\) będzie pełnić wierzchołek \(b\).

Zadanie \(\bf 7^e\).  Dla grafu \(G_1=(V,E)\) z rysunku 1, wskaż analogiczne trasy jak w Stwierdzeniu \( 7^c\), gdzie rolę wierzchołka \(c\) będzie pełnić wierzchołek \(e\).

Definicja 8.  Dla dwóch tras \(\varphi=\ll u_0\;u_1\;\ldots\; u_n\rl\), \(\psi=\ll v _0\;v_1\;\ldots\; v_k\rl\) takich, że \(u_n=v_0\) określamy iloczyn tych tras jako trasę \(\varphi\star\psi=\ll u_0\;u_1\;\ldots\; u_n\;v_1\;\ldots\; v_k\rl\) .
Niech dla \(\varphi=\ll u_0\;u_1\;\ldots\;u_{n-1}\; u_n\rl\) będzie \(\phi^{-1}=\ll u_{n}\;u_{n-1}\;\ldots\;u_1\; u_0\rl\), czyli \(\varphi\) zapisane wspak.
(Uwaga. Na ogół nie może być nawet mowy o przemienności działania \(\star\); dlaczego?)

Przykład 9.  W grafie \(G_1\) z rysunku 1. ograniczmy się do tras z \(\Omega(G_1,c)\):
   \(\ll c\; b\;c\;a\;c \rl \star \ll c\; d\; e\;d\;c\rl \sim \ll c\rl\),       \(\ll c\; (d\;e\;f\;g)^2 \;d\;c\rl \star \ll c\; (d\;e\;f\;g)^3 \;d\;c\rl \sim \ll c\; (d\;e\;f\;g)^5 \;d\;c\rl\),
   Dla dowolnego \(\varphi\in \Omega(G_1,c)\) mamy: \(\ \varphi\star \ll c\rl = \ll c\rl \star \varphi =\varphi,\ \) \(\ \varphi\star \varphi^{-1}\sim \ll c\rl \sim \varphi^{-1}\star \varphi\).
   Dla \(\ \beta_k=\ll c\;(d\;e\;f\;g)^k\;d\;c \rl, \ \gamma_n=\ll c\;(d\;g\;f\;e)^n\;d\;c \rl\) mamy dla liczb całkowitych \(k,m\in\mathbb{Z}\):
      \(\beta_1^{-1}\star \gamma_1\sim \ll c\rl, \)         \(\beta_k\sim\beta_1^k, \)         \(\gamma_k\sim\gamma_1^k, \)
      \(\beta_k \star \beta_m\sim \beta_{k+m}\sim (\beta_1)^k \star (\beta_1)^m , \)
      \(\gamma_k \star \gamma_m\sim \gamma_{k+m}\sim (\gamma_1)^k \star (\gamma_1)^m\),
      \(\beta_1^{0}\sim \ll c\rl \sim \gamma_m^0, \)

Stwierdzenie \(\bf 10^c\).  Dla grafu \(G_1\) z rys. 1., dla \(\beta=\ll c\;d\;e\;f\;g\;d\;c \rl\) mamy:
 \((a)\)  \(\beta^m\star \beta^n\sim \beta^{m+n}\) dla każdego \(m.n\in\mathbb{Z}\),
 \((b)\)  dla każdej trasy \(\omega\in \Omega(G_1,c)\) istnieje dokładnie jedno \(k\in\mathbb{Z}\) takie, że \(\omega\sim \beta^k\),
 \((c)\)  zbiór ilorazowy \(\Omega(G_1,c)/_{\sim}\) z działaniem \(\star\) jest izomorficzny z grupą \((\mathbb{Z},+)\) .

Zauważmy, że dla \( \ll e\;d\;c \rl\star (\ll c\;d\;e\;f\;g\;d\;c \rl)^k\star (\ll e\;d\;c \rl)^{-1} \in \Omega(G_1,e)\).
Ta obserwacja pozwala dowieść, że

Stwierdzenie \(\bf 11\).  Dla grafu \(G_1\) z rys.1, dowolnego \(v\in V\) i dowolnej trasy \(\delta=\ll v\;\ldots\;c\rl\) z \(v\) do \(c\) mamy:
 \((a)\)  \( \delta\star\varphi\star \delta^{-1} \sim \delta\star\varphi'\star \delta^{-1} \iff \varphi \sim \varphi' \ \) dla każdych tras \(\ \varphi,\varphi'\in \Omega(G_1,c)\),
 \((b)\)  \( \delta^{-1}\star\psi\star \delta \sim \delta^{-1}\star\psi'\star \delta \iff \psi \sim \psi' \ \) dla każdych tras \(\ \psi,\psi'\in \Omega(G_1,v)\),
 \((c)\)  zbiory ilorazowe \(\Omega(G_1,c)/_{\sim}\), \(\Omega(G_1,v)/_{\sim}\) z działaniem \(\star\) są izomorficzne,
 \((d)\)  zbiór ilorazowy \(\Omega(G_1,v)/_{\sim}\) z działaniem \(\star\) jest izomorficzny z grupą \((\mathbb{Z},+)\) .

 


 

A jak to wszystko się ma do grupy postawowej? 

\(\bullet\)   Wierzchołki grafu utożsamiamy z punktami z \(\mathbb{R}^n\) (wystarczy \(n=3\)) tak położonymi, by żadne 4 nie leżały w jednej płaszczyźnie.

\(\bullet\)   Krawędź \(\{u,v\}\) grafu utożsamiamy z odcinkiem \(uv=\{(1-t)u+tv: t\in[0,1]\}\).

\(\bullet\)   Suma takich odcinków i punktów tworzy realizacją geometryczną \(\hat{G}\) grafu \(G\).

\(\bullet\)   Trasę \(\varphi=\ll v_0\;v_1\;\ldots\; v_n\rl\) utożsamiamy z funkcją \(\hat{\varphi}:[0,1]\to \hat{G}\) określoną wzorem:
     \(\hat{\varphi}({k \over n})=v_k\), dla \(k\in\{0,1,\ldots n\}\), a na reszcie - liniowo, to znaczy:
     \(\hat{\varphi}(x)= n({k+1\over n}\!-\!x)v_k+n(x\!-\!{k\over n})v_{k+1} \) gdy \(x\in[{k\over n},{k+1\over n}].\)
     Dla trasy \(\varphi=\ll v_0\rl\) musimy (niestety) zdefiniować ją oddzielnie, jako funkcję stałą \(\hat{\varphi}(x)= v_0\).

\(\bullet\)   Iloczynowi \(\varphi\star\psi\) tras \(\varphi,\psi\in \Omega(G,v)\) odpowiada iloczyn pętli \(\hat{\varphi}\star\hat{\psi}\).

\(\bullet\)   Nieco kłopotliwy (technicznie) jest opis uzasadnienia, że
jeśli \(\varphi\sim\psi\) są S-homotopijne w \(G,\) to \(\hat{\varphi}\sim\hat{\psi}\), czyli \(\hat{\varphi},\hat{\psi}\) są homotopijne w \(\hat{G}\).
Pomysł polega na zapisaniu formułami owego skracania sznurka (opisanego powyżej w Wy(ob)rażeniu). "Wolno ciągnąc za końce sznurka, położenie sznurka będzie się zmieniać nieznacznie", czyli w sposób ciągły; oto idea owej homotopii. Pomijamy szczegóły; można zaglądnąć do tekstu: Zobaczmy dwie homotopijne pętle, gdzie jest ilustracja przykładu takiej homotopii.

\(\bullet\)   Wydaje się dużo, dużo trudniejsze pokazanie, że w grafie spójnym:
każda pętla \(p\in\Omega(\hat{G},v)\) jest homotopijna z pętlą \(\hat{\varphi}\) powstałą z pewnej trasy \(\varphi\in \Omega(G,v)\).
Bowiem bogactwo funkcji ciągłych jest dużo, dużo większe niż tras w grafie. Jednak jest twierdzenie: bliskie funkcje w 'ładne' przestrzenie są homotopijne. (Tu ładne oznacza ANR; realizacje grafów są takie.) Pomijamy szczegóły.

\(\bullet\)   Wszystko to, co powżej pozwala uzasadnić:
     Grupa podstawowa \(\Omega(\hat{G_1},v)/_{\sim}\) jest izomorficzna ze grupą \(\Omega(G_1,v)/_{\sim}\), czyli z \((\mathbb{Z},+)\).

\(\bullet\)   Ogólnie, dla realizacji geometrycznych grafów spójnych, grupa podstawowa może być badana tak samo. Jednak w nieco tylko bardziej skomplikowanych grafach grupy te są dużo bogatsze.

 


 

Zadanie łatwe. 
Znaleźć grupę podstawową realizacji \(\hat{G_2}\) grafu \(G_2\) z rysunku obok.
 
Wskazówka. 
Sformułować Lemat o własności S-skracania w drzewach.

 

Zadanie trudne. 
Znaleźć grupę podstawową realizacji \(\hat{G_3}\) grafu \(G_3\) z rysunku obok.
 

Wskazówka 0. 
Nie jest to grupa \((\mathbb{Z}^2,+)\). Szukana grupa nie jest abelowa.

Wskazówka 1. 
Wypisać przykłady S-nieskracalnych tras z \(\Omega(G_3,c)\).

Wskazówka 2. 
Sprawdzić, że dla liczb naturalnych dodatnich \(n_1,m_1,n_2,m_2,\ldots,n_k,m_k\) trasa
\(\beta=\ll c\;(a\;b\;c)^{n_1}\;d\;(e\;f\;g\;d)^{m_1}\;c\;(a\;b\;c)^{n_2}\;d\;(e\;f\;g\;d)^{m_2}\;\ldots\; c\;(a\;b\;c)^{n_k}\;d\;(e\;f\;g\;d)^{m_k}\;c \rl\)
jest S-nieskracalna.  

Wskazówka 3. 
Zakodować \(\beta^{-1}\).