Lemat Goursata
Lemat Goursata
Funkcją f określoną na obszarze D zawartym w płaszczyźnie
zespolonej nazywamy holomorficzną jeśli jest różnicznowalna
w sensie zespolonym, tzn. dla każdego x z D istnieje granica
ilorazów różnicowych (f(x + h) - f(x))/h dla h dążącego do
zera.
Sformułowanie i dowód lematy Goursata
Własności funkcji rzeczywistych:
- funkcja różniczkowalna nie musi mieć drugiej pochodnej
- funkcja nieskończenie wiele razy różniczkowalna nie musi się
rozwijać w szereg potęgowy
- niezerowa funkcja nieskończenie wiele razy różniczkowalna może
znikać na odcinku
Własności funkcji zespolonych:
- funkcja różniczkowalna w sensie zespolonym (holomorficzna) jest
nieskończenie wiele razy różniczkowalna
- funkcja holomorficzna rozwija się w szerego potęgowy w otoczeniu
dowolnego punktu z dziedziny
- zera funkcji holomorficznej są izolowane