Analiza matematyczna 3

$ \def\RR{{\text{I}\!\text{R}}} \def\NN{{\text{I}\!\text{N}}} \def\CC{{\cal C}} \def\QQ{{\text{Q}\!\!\!\scriptsize^|\:\:}} \def\dint{\mathop{\int\!\!\int}} \def\tint{\mathop{\int\!\!\int\!\!\int}} \def\rot{\hbox{rot\hskip2truept }} \def\div{\hbox{div\hskip2truept }} \def\grad{\hbox{grad\hskip2truept }} $

Na TEJ stronie będą dostępne wszystkie listy zadań, materiały z wykładów oraz wszelkie komunikaty i ogłoszenia.

Dla $\ F=e^{xz}-yz\ $ mamy: $\ F'_x=e^{xz}z$, $\ F'_y=-z$, $\ F'_z=e^{xz}z-y$,
skąd $\ F'_x(1,e,1)=e$, $\ F'_y(1,e,1)=-1$, $\ F'_z(1,e,1)=0$ .
Ponieważ $F'_z(1,e,1)=0$, więc trzeba zmienić tw. o f. uwikłanej, np. na wersję $y=y(x,z)$.
Zatem mamy równanie płaszczyzny stycznej do $F=0$ w $(1,e,1)$ :
$y=e+(-{e\over -1})(x-1)+(-{0\over -1})(z-1)$.
Odp. Płaszczyzna(!) $\ y=ex\ $ jest styczna do powierzchni $\ e^{xz}=yz\ $ w punkcie $\ (1,e,1)$.

Funkcja $\ F=\ln\sqrt{x^2+y^2}-\arctan\left({y\over x}\right)\ $ jest określona dla $x\neq0$ (poza osią OX).
Mamy: $\ F'_x={x+y\over x^2+y^2}$, $\ F'_y={y-x\over x^2+y^2}\ $ oraz $\ F_{xx}''={y^2-x^2-2xy\over (x^2+y^2)^2}$, $\ F_{yy}''={x^2-y^2+2xy\over (x^2+y^2)^2}$.
Szukamy p. kryt:
$\ \ \left\{\begin{array}{l}-{F'_x\over F_y'}=0\\F=0\\F_y'\neq0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} F'_x=0\\F=0\\F_y'\neq0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} y=-x\\\ln(\sqrt2|x|)=-{\pi\over4}\\y\neq x\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} y=-x\\|x|={1\over\sqrt2}e^{-\pi{/}4}\\y\neq x\end{array}\right. $
czyli mamy dwa punkty: $p_1={\Big(}{1\over\sqrt2e^{\pi{/}4}},-{1\over\sqrt2e^{\pi{/}4}}{\Big)}$, $p_2={\Big(}-{1\over\sqrt2e^{\pi{/}4}},{1\over\sqrt2e^{\pi{/}4}}{\Big)}$.
Dla nich $\ F_{xx}''={y^2-x^2-2xy\over (x^2+y^2)^2}={-2xy\over (x^2+y^2)^2}>0$, więc łatwo jest sprawdzić, że są w nich ekstrema lokalne.

[Niestety, to jeszcze nie koniec; to nie jest jeszcze pełne rozwiązanie.]
[Dalej już tylko szkic:]

Tw. o funkcji uwikłanej nie rozstrzyga, jak to jest z punktami spełniającymi układ $\ \left\{\begin{array}{l}F_y'=0\\F=0\end{array}\right.,\ $
czyli z $q_1={\Big(}{e^{\pi{/}4}\over\sqrt2},{e^{\pi{/}4}\over\sqrt2}{\Big)}$, $q_2={\Big(}-{e^{\pi{/}4}\over\sqrt2},-{e^{\pi{/}4}\over\sqrt2}{\Big)}$.
Dla nich $\ F'_x\neq0$, więc z dualnej wersji tw. o f. uwikłanej wiemy,
że lokalnie leżą na wykresach funkcji uwikłanych $x=x(y)$,
które mają w tych punktach styczne $x={e^{\pi{/}4}\over\sqrt2}$, $x=-{e^{\pi{/}4}\over\sqrt2}$ (odpowiednio).
Ponadto w nich $x''(y)\neq0$ (bo $\ F_{y}''={x^2-y^2+2xy\over (x^2+y^2)^2}={2xy\over (x^2+y^2)^2}\neq0$ ), więc ich wykresy leżą po jednej stronie swych stycznych.
Stąd już wynika, że w punktach $q_1$ i w $q_2$ równanie $F=0$ nie zadaje funkcji uwikłanej $y=y(x)$.

Odp. Równanie $F=0$ zadaje funkcję uwikłaną $y=y(x)$, która ma
ekstrema lokalne w dwóch punktach: $p_1={\Big(}{1\over\sqrt2e^{\pi{/}4}},-{1\over\sqrt2e^{\pi{/}4}}{\Big)}$, $p_2={\Big(}-{1\over\sqrt2e^{\pi{/}4}},{1\over\sqrt2e^{\pi{/}4}}{\Big)}$. [ufff!].

Uwaga. Ilustrację do zadania można zobaczyć tu, on-line.
Uwaga. Jak polubisz liczby zespolone, to zobaczysz związek ze spiralą logarytmiczną.

Stożki mają wysokości i promienie podstawy równe 1.
Wierzchołek stożka $S_2$ jest środkiem podstawy stożka $S_1$
i ich wysokości są prostopadłe.

Zadanie. (trudne) Oblicz pole cżęści powierzchni stożka $S_2$ zawartej w $S_1$,
czyli pole żółtej 'obłej ściany' przekroju tych stożków.
Wsk. Znajdź równanie różowej linii będącej rzutem linii czerwonej.

widok: (manipulacje rysunku myszką)

Uwaga. Pole zielonej 'obłej ściany' nie wyraża się 'ładną' liczbą
(bo sprowadza się to do obliczenia pewnej całki eliptycznej).

Stożki mają wysokości i promienie podstawy równe 1.
Wierzchołek stożka $S_3$ jest środkiem podstawy stożka $S_1$
i ich wysokości tworzą kąt 45^o.

Obliczenie objętości, czy pola powierzchni części wspólnej stożków,
wygląda na 'beznadziejny' problem, to znaczy całki
(do których można sprowadzić te problemy) wyglądają na eliptyczne.
Zatem 'musi nam wystarczyć' oglądanie owego przekroju $S_1\cap S_3$.

widok: (manipulacje rysunku myszką)